C++学习内容：

• 循环语句 for 、基础数学（分解质因数）

• for 语句语法：for(初始化语句; 循环条件; 迭代语句)

• 同学们可以参考 while 语句学习，其实就是将变量、条件、自增结合在一起而已，多去使用就明白了。

• 以下举例：输出 20 以内所有的偶数。

#include <iostream>

using namespace std;

int main(){

	for (int i = 1; i <= 20; i++) {
		if (i % 2 == 0) {
			cout << i << " ";
		}
	}

	return 0;
}

• 循环语句 while、do...while() 、基础数学（质数、合数）

• while 语句与 do...while() 语句：

• while 语句语法：

while(条件){
	执行语句;
}

• do...while() 语句语法：

do{
	执行语句;
} while (条件);

• 注意点：do...while() 语句至少执行一次。

• 循环语句通常配合循环控制语句 break、continue 使用。以下进行举例：

• 举例内容为：循环输出 1 - 20 以内的偶数，如果是奇数将不会输出，直接跳过本次循环，如果超过 20 会直接结束循环。

#include <iostream>

using namespace std;

int main(){

	int i = 1;
	while (true) {
		if (i % 2 != 0) {
			i++;	// 增加 i（注意和下面不同，这里是先增加在跳出循环）
			continue;	// 如果是奇数跳出本次循环
		}
		if (i % 2 == 0) {
			cout << i << " "; // 如果是偶数直接输出
			i++;	// 增加 i（这里是先输出在增加 i）
		}
		if (i > 20) {	// 如果 i 大于 20 直接结束整个循环
			break;
		}
	}

	return 0;
}

• 通常情况会使用 while 语句，而不是 do...while() 语句，可能在考试中会问道 do...while() 语句至少执行一次的题目，前面已经说过了。

• 基础数学：

• 质因数：质因数是合数的特殊因数，每个合数都可以表示为若干个质数相乘的形式。这些质数被称为该合数的质因数。例如，数字 $15$ 可以分解为 $3$ 和 $5$ 两个质数相乘，因此 $3$ 和 $5$ 是 $15$ 的质因数。值得注意的是，质因数必须是该合数的因数并且是质数，并不是每个合数的因数都是它的质因数。

• 分解质因数：

• 分解质因数的方法主要有两种

• 相乘法：将合数写成几个质数相乘的形式，例如 36 可以分解为 2 × 2 × 3 × 3。

• 短除法：从最小的质数开始除，一直除到结果为质数为止。例如，28可以分解为 2 × 2 × 7。

• 以下用短除法进行分解质因数（输入一个数字，对该数字分解质因数）：

#include <iostream>
#include <cmath>

using namespace std;

int main(){
	// 输入 
	int n;
	cin >> n;
	
	// 分解质因数
	for (int i = 2; i <= sqrt(n); i++) {	// 枚举质数
		while (n % i == 0) {	// 如果能被质数整除就继续
			cout << i << " ";	// 输出质因数
			n /= i;	// 除掉这个质因数
		}
	}
	
	// 特例（比如 3，本身就是质数，不用上面分解，以及 6 这种的，分解完剩下的 3 上面也分解不了）
	// 另外 1 也是特例，所以最后的 n 大于 1 才输出
	if (n > 1) {
		cout << n;
	}
	return 0;
}

• 因数个数：

#include <iostream>
#include <cmath>

using namespace std;

int main(){
	// 输入 
	long long n;
	cin >> n;
	
	long long cnt = 0;
	long long ans = 0;
	// 分解质因数
	for (long long i = 2; i <= sqrt(n); i++) {	// 枚举质数
		cnt = 0;
		while (n % i == 0) {	// 如果能被质数整除就继续
			// cout << i << " ";	// 输出质因数
			cnt++;
			n /= i;	// 除掉这个质因数
		}
		cout << i << " 有 " << cnt << " 个。" << endl;
		ans += cnt;
	}
	
	// 特例（比如 3，本身就是质数，不用上面分解，以及 6 这种的，分解完剩下的 3 上面也分解不了）
	// 另外 1 也是特例，所以最后的 n 大于 1 才输出
	if (n > 1) {
		// cout << n;
		cout << n << " 有 " << 1 << " 个。" << endl;
		ans += 1;
	}

	cout << "一共有 " << ans << " 个。" << endl;
	return 0;
}

唯一分解定理：

• 定义：任何一个大于 $1$ 的整数 $n$ 都可以分解成若干个素因数的连乘积，如果不计各个素因数的顺序，那么这种分解是惟一的。

• 设 $n \geq 2$ 为整数，则有唯一的分解式为： $n = P_1^{a_1} · P_2^{a_2} · P_3^{a_3} · ... · P_m^{a_m}$ ，也就是 $n = \prod_{i = 1}^{m}{P_i^{a_i}}$ ，其中 $p_1 < p_2 < p_3 < ... < p_{m - 1} < p_m$ 且 $p_i$ 为质数，$a_i$​ 为正整数。

约数（因数）个数定理：

• 根据唯一分解定理可得，$n$ 的约数个数为 $d(n) = (1 + a_1) · (1 + a_2) · (1 + a_3) · ... · (1 + a_m)$ ，也就是 $d(n) = = \prod_{i = 1}^{m}{(a_i + 1)}$ 。比如：$28 = 2^2 · 7$ ，$d(28) = (2 + 1) · (1 + 1) = 6$ 。

• 同样，$n$ 的约数和为 $S(n) = (1 + p_1 + p_1^2 + ... + p_1^{a_1}) · (1 + p_2 + p_2^2 + ... + p_2^{a_2}) · (1 + p_k + p_k^2 + ... + p_k^{a_k})$ 。比如：$S(28) = (1 + 2 + 4) · (1 + 7) = 56$​ 。

• 当 $S(n) = 2N$ 时，$n$​ 就是完全数。

• 完全数：又称完美数或完备数，是一些特殊的自然数。它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和（即因子函数），恰好等于它本身。例如，$6, 28, 496, 8128, 33550336$ 都是完全数，现在已经发现了 $51$ 个完全数。